القاسم المشترك الأكبر، خوارزمية إقليدس ومتطابقة بيزو

Intermédiaire Inspiré BAC Cameroun
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Exercice inspiré d'un BAC Cameroun
Source-style : BAC Cameroun Série C 2023
Inspiré du style BAC Cameroun Série C 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 2 — القاسم المشترك الأكبر، Bézout والمعادلة الديوفانتية

نضع a = و b = .

  1. طبق خوارزمية إقليدس لحساب d = . فصّل كل خطوة.

  2. بالعودة إلى خطوات الخوارزمية (طريقة العودة)، عبر عن d على الشكل d = حيث . أعط قيم u و v بشكل صريح.

  3. حل في المعادلة الديوفانتية: .
    أعط مجموعة جميع الحلول الصحيحة.

  4. يبيع تاجر من مراكش أكياس تمر من حجمين: الحجم الكبير يحتوي على غرام والحجم الصغير غرام. يرغب في تكوين مجموعات ذات كتلة متساوية تمامًا عن طريق دمج أكياس من الحجمين (مع إمكانية إزالة أكياس من مجموعة مكونة بالفعل، مما يسمح بمعاملات سالبة). ما هي أصغر كتلة موجبة قطعا يمكن تحقيقها؟ برر إجابتك باستخدام الأسئلة السابقة.

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour calculer le PGCD avec l'algorithme d'Euclide, commence par diviser $252$ par $180$ et note le reste. Puis divise $180$ par ce reste, et continue jusqu'à obtenir un reste nul.
2 الإرشاد 2
Une fois le PGCD trouvé, remonte les divisions : exprime le dernier reste non nul en fonction de l'avant-dernier, puis remplace dans cette expression chaque reste par sa valeur tirée des divisions précédentes.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour calculer le PGCD avec l'algorithme d'Euclide, commence par diviser par et note le reste. Puis divise par ce reste, et continue jusqu'à obtenir un reste nul.

Une fois le PGCD trouvé, remonte les divisions : exprime le dernier reste non nul en fonction de l'avant-dernier, puis remplace dans cette expression chaque reste par sa valeur tirée des divisions précédentes.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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