Divisibilité et congruences — Premiers pas

Facile Inspiré BAC Cameroun
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Exercice inspiré d'un BAC Cameroun
Source-style : BAC Cameroun Série C 2023
Inspiré du style BAC Cameroun Série C 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 1. On considère l'entier , où . 1) Déterminer le reste de la division de par . 2) Montrer que est divisible par pour tout . 3) Donner deux valeurs entières de , l'une positive et l'une négative, et vérifier dans chaque cas que .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour la question 1, commence par remplacer $n$ par $7k+3$ dans l'expression $n^2$, puis développe. Regarde ensuite ce que tu peux factoriser par $7$ pour identifier le reste.
2 Indice 2
Pour la question 2, tu as trouvé que $n^2 = 49k^2 + 42k + 9$. Réécris $9$ comme $7 + 2$, puis factorise tout ce qui contient $7$. Que remarques-tu sur $n^2 - 2$ ?

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, commence par remplacer par dans l'expression , puis développe. Regarde ensuite ce que tu peux factoriser par pour identifier le reste.

Pour la question 2, tu as trouvé que . Réécris comme , puis factorise tout ce qui contient . Que remarques-tu sur ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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