Entiers premiers entre eux et équation diophantienne — Intermédiaire

Exercice 4

Soit n $\in$ $\mathbb{Z}$. On pose A = 2n + 5 et B = 3n + 7.

1. Calculer 3A − 2B et en déduire pgcd(A, B).
2. Montrer que A et B sont premiers entre eux si et seulement si pgcd(A, B) = 1, et que cette condition est toujours vérifiée ici.
3. Un commerçant de Marrakech dispose de deux types de colis : des colis de type I pesant (2n+5) kg et des colis de type II pesant (3n+7) kg, avec n = 4. Il souhaite constituer deux lots de même masse totale, l'un uniquement avec des colis de type I, l'autre uniquement avec des colis de type II. Déterminer le nombre minimal de colis de chaque type nécessaires.