الموافقات والقوى وقابلية القسمة

التمرين 3 — الموافقات، القوى ودراسة قابلية القسمة

نُعرف، لكل عدد صحيح طبيعي n، العدد: A(n) = $7^{2n+1}+3\times 5^{2n+1}+2$.

1. حسابات أولية.
   أ) احسب A(0) و A(1). تحقق أن $8|A(0)$ و $8|A(1)$.
   ب) احسب باقي قسمة $7^2$ وباقي قسمة $5^2$ على 8.

2. دراسة بترديد 8.
   أ) بين أن $7\equiv -1(\mathrm{mod}8)$ واستنتج أن $7^{2n+1}\equiv -1(\mathrm{mod}8)$ لكل n $\in \mathbb{N}$.
   ب) بين أن $5\equiv 5(\mathrm{mod}8)$ وأن $5^2\equiv 1(\mathrm{mod}8)$. استنتج أن $5^{2n+1}\equiv 5(\mathrm{mod}8)$ لكل n $\in \mathbb{N}$.
   ج) استنتج أن $8|A(n)$ لكل n $\in \mathbb{N}$.

3. دراسة بترديد 5.
   أ) حدد باقي قسمة $7^{2n+1}$ بترديد 5 لكل n $\in \mathbb{N}$. (ابدأ بدراسة $7\mathrm{mod}5$ و $7^2\mathrm{mod}5$.)
   ب) بين أن $5^{2n+1}\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ لكل n $\in \mathbb{N}$.
   ج) استنتج باقي قسمة A(n) على 5، ثم حدد الأعداد الصحيحة n $\in \mathbb{N}$ التي من أجلها $5|A(n)$.

4. خلاصة.
   بين أنه لكل n $\in \mathbb{N}$، القاسم المشترك الأكبر $\gcd (A(n),40)$ هو مضاعف للعدد 8. حدد قيمته حسب زوجية n.