Congruences et reste d'une puissance — Niveau intermédiaire

Exercice 3

On s'intéresse au reste de la division de $3^n$ par 8, selon la parité de n $\in$ $\mathbb{N}$*.

1. Calculer $3^1$, $3^2$, $3^3$, $3^4$ modulo 8. Que constatez-vous ?
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel p $\ge$ 1 : $3^{2p}\equiv 1(\mathrm{mod}8)$.
3. En déduire le reste de la division de $3^{2023}$ par 8.
4. Montrer que $3^{2023}+5$ est divisible par 8.