Congruences, puissances et divisibilité — niveau difficile

Exercice 3 — Congruences, puissances et étude de divisibilité

On définit, pour tout entier naturel n, l'entier : A(n) = $7^{2n+1}+3\times 5^{2n+1}+2$.

1. Calculs préliminaires.
   a) Calculer A(0) et A(1). Vérifier que $8|A(0)$ et $8|A(1)$.
   b) Calculer les restes de $7^2$ et de $5^2$ dans la division par 8.

2. Étude modulo 8.
   a) Montrer que $7\equiv -1(\mathrm{mod}8)$ et en déduire que $7^{2n+1}\equiv -1(\mathrm{mod}8)$ pour tout n $\in \mathbb{N}$.
   b) Montrer que $5\equiv 5(\mathrm{mod}8)$ et que $5^2\equiv 1(\mathrm{mod}8)$. En déduire que $5^{2n+1}\equiv 5(\mathrm{mod}8)$ pour tout n $\in \mathbb{N}$.
   c) Conclure que $8|A(n)$ pour tout n $\in \mathbb{N}$.

3. Étude modulo 5.
   a) Déterminer le reste de $7^{2n+1}$ modulo 5 pour tout n $\in \mathbb{N}$. (On commencera par étudier $7\mathrm{mod}5$ et $7^2\mathrm{mod}5$.)
   b) Montrer que $5^{2n+1}\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ pour tout n $\in \mathbb{N}$.
   c) En déduire le reste de A(n) dans la division par 5, puis déterminer les entiers n $\in \mathbb{N}$ pour lesquels $5|A(n)$.

4. Conclusion.
   Montrer que pour tout n $\in \mathbb{N}$, $\gcd (A(n),40)$ est un multiple de 8. Préciser sa valeur selon la parité de n.