التمرين 5 لكل عدد صحيح طبيعي n ∈ N ، نضع a n = 3 n + 2 و b n = 5 n + 3 . احسب القاسم المشترك الأكبر pgcd( a n , b n ) من أجل n = 0 و n = 1 و n = 2 . ضع تخمينا. برهن على التخمين بإظهار أن كل قاسم مشترك لـ a n و b n يقسم عددا صحيحا ثابتا، ثم استنتج. استنتج أنه يوجد عددان صحيحان u n , v n ∈ Z بحيث ( 3 n + 2 ) u n + ( 5 n + 3 ) v n = 1 ، وأعط حلا صريحا للزوج ( u n , v n ) لكل n . نرمز بـ d n = pgcd ( 7 a n , 7 b n ) . احسب d n و pgcd( a n 2 , b n 2 ).

دراسة حسابية شاملة – أعداد أولية و PGCD وسيطي

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 5

لكل عدد صحيح طبيعي n $\in$ $N$ ، نضع $a_{n} = 3 n + 2$ و $b_{n} = 5 n + 3$ .

احسب القاسم المشترك الأكبر pgcd( $a_{n}$ , $b_{n}$ ) من أجل $n = 0$ و $n = 1$ و $n = 2$ . ضع تخمينا.
برهن على التخمين بإظهار أن كل قاسم مشترك لـ $a_{n}$ و $b_{n}$ يقسم عددا صحيحا ثابتا، ثم استنتج.
استنتج أنه يوجد عددان صحيحان $u_{n}$ , $v_{n}$ $\in$ $Z$ بحيث $(3 n + 2) u_{n} + (5 n + 3) v_{n} = 1$ ، وأعط حلا صريحا للزوج $(u_{n}, v_{n})$ لكل $n$ .
نرمز بـ $d_{n} = pgcd (7 a_{n}, 7 b_{n})$ . احسب $d_{n}$ و pgcd( $a_{n}^{2}$ , $b_{n}^{2}$ ).

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

كل قاسم مشترك $d$ لـ $a_n$ و $b_n$ يقسم كل تركيب $\\alpha a_n+\\beta b_n$.

2 الإرشاد 2

ابحث عن تركيب لـ $3n+2$ و $5n+3$ يحذف $n$ : جرّب $5a_n-3b_n$.

3 الإرشاد 3

في السؤال 4، تذكّر أن $\\gcd(ka,kb)=|k|\\gcd(a,b)$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

كل قاسم مشترك $d$ لـ $a_{n}$ و $b_{n}$ يقسم كل تركيب $a l p ha a_{n} + b e t a b_{n}$ .

ابحث عن تركيب لـ $3 n + 2$ و $5 n + 3$ يحذف $n$ : جرّب $5 a_{n} - 3 b_{n}$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points