Arithmétique modulaire avancée et entiers premiers entre eux — Difficile

Exercice 6

Cet exercice étudie des propriétés arithmétiques liées aux congruences et à la divisibilité.

1. Partie A — Congruences et divisibilité

   1. Montrer que pour tout entier n, on a : $n^5\equiv n(\mathrm{mod}5)$. (On distinguera les cas selon le reste de n modulo 5.)
   2. En déduire que $5|(n^5-n)$ pour tout n $\in$ $\mathbb{Z}$.
   3. Montrer de plus que $30|n^5-n$ pour tout n $\in$ $\mathbb{Z}$. (On admettra que $2|n^2-n$ et on utilisera les résultats précédents et de l'exercice 1.)

2. Partie B — Équation et nombres premiers

   1. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation (E) : $17x\equiv 5(\mathrm{mod}11)$.
   2. On cherche les entiers n $\ge 2$ tels que $\gcd (n,n+4)>1$. Montrer que ces entiers sont exactement les multiples de 2 et les multiples de 4 divisant n + 4. Puis déterminer tous les n $\ge 2$ vérifiant cette propriété.