Exercice 5 Pour tout entier n ∈ N , on pose a n = 3 n + 2 et b n = 5 n + 3 . Calculer pgcd( a n , b n ) pour n = 0 , n = 1 et n = 2 . Émettre une conjecture. Démontrer la conjecture en montrant que tout diviseur commun de a n et b n divise un entier fixe, puis conclure. En déduire qu'il existe des entiers u n , v n ∈ Z tels que ( 3 n + 2 ) u n + ( 5 n + 3 ) v n = 1 , et donner un couple solution explicite pour tout n . On note d n = pgcd ( 7 a n , 7 b n ) . Calculer d n et pgcd( a n 2 , b n 2 ).

Étude arithmétique complète — Nombres premiers et PGCD paramétrique — Difficile

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Exercice 5

Pour tout entier n $\in$ $N$ , on pose $a_{n} = 3 n + 2$ et $b_{n} = 5 n + 3$ .

Calculer pgcd( $a_{n}$ , $b_{n}$ ) pour $n = 0$ , $n = 1$ et $n = 2$ . Émettre une conjecture.
Démontrer la conjecture en montrant que tout diviseur commun de $a_{n}$ et $b_{n}$ divise un entier fixe, puis conclure.
En déduire qu'il existe des entiers $u_{n}$ , $v_{n}$ $\in$ $Z$ tels que $(3 n + 2) u_{n} + (5 n + 3) v_{n} = 1$ , et donner un couple solution explicite pour tout $n$ .
On note $d_{n} = pgcd (7 a_{n}, 7 b_{n})$ . Calculer $d_{n}$ et pgcd( $a_{n}^{2}$ , $b_{n}^{2}$ ).

— clique pour révéler

1 Indice 1

Un diviseur commun $d$ de $a_n$ et $b_n$ divise toute combinaison $\\alpha a_n+\\beta b_n$.

2 Indice 2

Cherche une combinaison de $3n+2$ et $5n+3$ qui elimine le $n$ : essaie $5a_n-3b_n$.

3 Indice 3

Pour Q4, rappelle-toi que $\\gcd(ka,kb)=|k|\\gcd(a,b)$.

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Un diviseur commun $d$ de $a_{n}$ et $b_{n}$ divise toute combinaison $a l p ha a_{n} + b e t a b_{n}$ .

Cherche une combinaison de $3 n + 2$ et $5 n + 3$ qui elimine le $n$ : essaie $5 a_{n} - 3 b_{n}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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