Exercice 6 — Suite recurrente et arithmetique. On definit la suite ( a n ) par : a 0 = 2 et, pour tout n ∈ N , a n + 1 = 3 a n + 4 . 1. Calculer a 1 , a 2 , a 3 . Conjecturer la parite de a n . 2. Demontrer par recurrence que a n est pair pour tout n ∈ N . 3. On pose b n = a n + 2 . Montrer que ( b n ) est geometrique, puis en deduire que a n = 4 ⋅ 3 n − 2 pour tout n ∈ N . 4. Determiner le reste de la division de a 2023 par 7. (Indication : etudier 3 n mod 7.)

Congruences, invariant et divisibilité d'une suite récurrente

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 6 — Suite recurrente et arithmetique. On definit la suite

(a_{n})

par :

a_{0} = 2

et, pour tout

n \in N

a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4

. 1. Calculer

a_{1}

a_{2}

a_{3}

. Conjecturer la parite de

a_{n}

. 2. Demontrer par recurrence que

a_{n}

est pair pour tout

n \in N

. 3. On pose

b_{n} = a_{n} + 2

. Montrer que

(b_{n})

est geometrique, puis en deduire que

a_{n} = 4 \cdot 3^{n} - 2

pour tout

n \in N

. 4. Determiner le reste de la division de

a_{2023}

par 7. (Indication : etudier

3^{n}

mod 7.)

Indices

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1 Indice 1

Calculez $a_1, a_2, a_3$ en appliquant simplement la relation $a_{n+1} = 3a_n + 4$, puis observez leur parité.

2 Indice 2

Pour la récurrence, si $a_n = 2k$ est pair, exprimez $a_{n+1} = 3(2k) + 4$ et factorisez par $2$.

3 Indice 3

Pour la forme explicite, cherchez le point fixe de $x = 3x + 4$ (ici $x=-2$) et posez $b_n = a_n + 2$. Pour la question 4, étudiez la période des puissances de $3$ modulo $7$ et utilisez $2023 \mod (\text{période})$.

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Calculez $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ en appliquant simplement la relation $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4$ , puis observez leur parité.

Pour la récurrence, si $a_{n} = 2 k$ est pair, exprimez $a_{n + 1} = 3 (2 k) + 4$ et factorisez par $2$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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