Divisibilité et congruences — Niveau facile — Bac Sénégal 2023

Facile Inspiré BAC Sénégal
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Exercice inspiré d'un BAC Sénégal
Source-style : BAC Sénégal Série S 2023
Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 1

On considère l'entier n .

  1. Montrer que pour tout entier n, l'expression A(n) = − n est divisible par 6.
  2. En déduire le reste de la division de − 2023 par 6.
  3. Déterminer tous les entiers n tels que .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour la première question, commence par factoriser $A(n) = n^3 - n$ en mettant $n$ en facteur. Tu obtiendras le produit de trois nombres consécutifs. Réfléchis ensuite à ce que tu peux dire sur la divisibilité d'un tel produit.
2 Indice 2
Parmi trois entiers consécutifs $(n-1)$, $n$ et $(n+1)$, demande-toi : combien sont pairs ? Combien sont divisibles par 3 ? Utilise le fait que $6 = 2 \times 3$ et que 2 et 3 sont premiers entre eux.

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La méthode — par où commencer

Pour la première question, commence par factoriser en mettant en facteur. Tu obtiendras le produit de trois nombres consécutifs. Réfléchis ensuite à ce que tu peux dire sur la divisibilité d'un tel produit.

Parmi trois entiers consécutifs , et , demande-toi : combien sont pairs ? Combien sont divisibles par 3 ? Utilise le fait que et que 2 et 3 sont premiers entre eux.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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