Congruences, puissances et reste — Intermédiaire

Exercice 4

Dans cet exercice, on s'intéresse aux restes de certaines puissances.

1. Calculer les restes de $2^1$, $2^2$, $2^3$, $2^4$, $2^5$ dans la division par 7. Que constate-t-on ?
2. Déterminer le reste de $2^{100}$ dans la division par 7. Justifier rigoureusement.
3. Montrer que pour tout entier n $\ge$ 1, on a : $3^{2n}-1\equiv 0(\mathrm{mod}8)$. (On pourra utiliser une récurrence ou les congruences.)
4. Soit p un nombre premier tel que p | $(3^{2n}-1)$ pour un certain n $\ge$ 1. Peut-on affirmer que p = 2 ? Justifier.