Arithmétique avancée : suite, PGCD et entiers premiers entre eux

Exercice 5 — Suite, PGCD et nombres premiers entre eux (Niveau : Difficile)

Pour tout entier naturel n, on pose : $u_n=2n^2+3n+1$ et $v_n=2n^2+5n+3$.

1. Factoriser $u_n$ et $v_n$ en produit de facteurs entiers (chercher des racines entières).
2. Montrer que $v_n-u_n=2n+2$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
3. Soit $d_n=\text{pgcd}(u_n,v_n)$. Montrer que $d_n$ divise $2(2n+2)$, puis que $d_n$ divise aussi $2n+1$.
   Indication : exprimer $u_n$ en fonction de $(2n+1)$ et $(n+1)$.
4. En déduire que $d_n$ divise $\text{pgcd}(2n+2,2n+1)$, puis calculer ce PGCD. Conclure sur la valeur de $d_n$.
5. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, les entiers $(n+1)$ et $(2n+1)$ sont premiers entre eux.
   En déduire que $u_n$ et $v_n$ sont premiers entre eux pour tout $n\in \mathbb{N}$.