Situation-problème : épargne et suite géométrique — niveau difficile — Bac Sénégal 2023

Exercice 5 — Situation-problème

Un habitant de Casablanca place chaque année, au 1ᵉʳ janvier, une somme de 5 000 dirhams dans un compte bancaire qui rapporte un taux d'intérêt annuel de 4 %. Le premier versement est effectué le 1ᵉʳ janvier de l'année 1.

On note $C_n$ le capital disponible sur le compte immédiatement après le versement et la capitalisation des intérêts de l'année n (n $\ge$ 1).

1. Justifier que $C_1=5000\times 1,04$.
2. Montrer que pour tout n $\ge$ 1 : $C_{n+1}=1,04\times C_n+5000\times 1,04$.
3. On pose $a=\frac{5000\times 1,04}{1,04-1}$. Montrer que la suite $(w_n)$ définie par $w_n=C_n-a$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
4. En déduire l'expression de $C_n$ en fonction de n.
5. Au bout de combien d'années le capital dépassera-t-il 100 000 dirhams ? (On admettra que $\log (1,04)\approx 0,01703$.)