Soit ( u n ) définie par u 0 = 2 1 et u n + 1 = 3 − 2 u n u n . Calculer u 1 . Montrer par récurrence que 0 < u n ≤ 2 1 pour tout n ∈ N . Montrer que u n u n + 1 ≤ 2 1 et déduire la monotonie de ( u n ) . Montrer que 0 < u n ≤ ( 2 1 ) n + 1 , en déduire la limite de ( u n ) . Vérifier que u n + 1 1 − 1 = 3 ( u n 1 − 1 ) . En déduire l'expression exacte de u n .

Suite u_{n+1}=u_n/(3−2u_n) — changement 1/u_n (Session 2021)

Difficile

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = \frac{1}{2}$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{3 - 2 u _{n}}$ .

Calculer $u_{1}$ .
Montrer par récurrence que $0 < u_{n} \leq \frac{1}{2}$ pour tout $n \in N$ .
Montrer que $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \leq \frac{1}{2}$ et déduire la monotonie de $(u_{n})$ .
Montrer que $0 < u_{n} \leq (\frac{1}{2})^{n + 1}$ , en déduire la limite de $(u_{n})$ .
Vérifier que $\frac{1}{u _{n + 1}} - 1 = 3 (\frac{1}{u _{n}} - 1)$ . En déduire l'expression exacte de $u_{n}$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour $u_1$, applique simplement la formule avec $u_0=\dfrac12$. Pour la récurrence de la question 2, utilise l'hypothèse $u_n\leq\frac12$ pour minorer $3-2u_n$.

2 Indice 2

Pour la monotonie, calcule le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{1}{3-2u_n}$ et majore-le grâce à l'encadrement de $u_n$.

3 Indice 3

Pour la question 5, calcule $\dfrac{1}{u_{n+1}}-1$ en fonction de $\dfrac{1}{u_n}$ ; tu obtiens une suite géométrique $w_n=\dfrac{1}{u_n}-1$ dont il faut trouver la raison et le premier terme.

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Pour $u_{1}$ , applique simplement la formule avec $u_{0} = \frac{1}{2}$ . Pour la récurrence de la question 2, utilise l'hypothèse $u_{n} \leq \frac{1}{2}$ pour minorer $3 - 2 u_{n}$ .

Pour la monotonie, calcule le quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{1}{3 - 2 u _{n}}$ et majore-le grâce à l'encadrement de $u_{n}$ .

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