Soit ( u n ) définie par u 0 = 2 3 et u n + 1 = 2 u n + 5 2 u n . Calculer u 1 . Montrer par récurrence que u n > 0 pour tout n ∈ N . Montrer que 0 < u n + 1 ≤ 5 2 u n , puis par récurrence que 0 < u n ≤ 2 3 ( 5 2 ) n . Calculer la limite de ( u n ) . Soit v n = 2 u n + 3 4 u n . Montrer que ( v n ) est géométrique de raison 5 2 . Calculer v 0 , puis exprimer u n en fonction de n .

Suite u₀=3/2 — géométrique et terme général (BAC 2020)

Difficile

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = \frac{3}{2}$ et $u_{n + 1} = \frac{2 u _{n}}{2 u _{n} + 5}$ .

Calculer $u_{1}$ .
Montrer par récurrence que $u_{n} > 0$ pour tout $n \in N$ .
Montrer que $0 < u_{n + 1} \leq \frac{2}{5} u_{n}$ , puis par récurrence que $0 < u_{n} \leq \frac{3}{2} (\frac{2}{5})^{n}$ . Calculer la limite de $(u_{n})$ .
Soit $v_{n} = \frac{4 u _{n}}{2 u _{n} + 3}$ . Montrer que $(v_{n})$ est géométrique de raison $\frac{2}{5}$ . Calculer $v_{0}$ , puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour l'encadrement, majore le denominateur $2u_n+5$ en utilisant le signe de $u_n$ deja demontre.

2 Indice 2

Comme $2u_n+5>5$, deduis $u_{n+1}<\\dfrac{2}{5}u_n$ puis propage l'inegalite par recurrence.

3 Indice 3

Pour $(v_n)$, remplace $u_{n+1}$ par son expression dans $v_{n+1}$ et simplifie pour faire apparaitre le facteur $\\dfrac{2}{5}$ devant $v_n$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour l'encadrement, majore le denominateur $2 u_{n} + 5$ en utilisant le signe de $u_{n}$ deja demontre.

Comme $2 u_{n} + 5 > 5$ , deduis $u_{n + 1} < df r a c 25 u_{n}$ puis propage l'inegalite par recurrence.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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