Soit ( u n ) définie par u 0 = 1 et u n + 1 = 3 u n + 5 5 u n . Montrer que u n > 0 pour tout n . Montrer que ( u n ) est décroissante et convergente. Soit v n = u n 5 . Montrer que ( v n ) est arithmétique. En déduire u n en fonction de n et calculer la limite de ( u n ).

Suite u₀=1, u_{n+1}=5u_n/(3u_n+5) — changement 5/u_n (BAC)

Difficile

Soit ( $u_{n}$ ) définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{5 u _{n}}{3 u _{n} + 5}$ .

Montrer que $u_{n} > 0$ pour tout $n$ . Montrer que ( $u_{n}$ ) est décroissante et convergente.
Soit $v_{n} = \frac{5}{u _{n}}$ . Montrer que ( $v_{n}$ ) est arithmétique. En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ et calculer la limite de ( $u_{n}$ ).

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la positivité, procède par récurrence en utilisant la formule de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

2 Indice 2

Pour la décroissance, étudie le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{5}{3u_n+5}$ et compare-le à 1.

3 Indice 3

Pour la question 2, calcule $v_{n+1} = \frac{5}{u_{n+1}}$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression, et simplifie pour faire apparaître $v_n + 3$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la positivité, procède par récurrence en utilisant la formule de $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ .

Pour la décroissance, étudie le rapport $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{5}{3 u _{n} + 5}$ et compare-le à 1.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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