Suite géométrique, récurrence et limite

Exercice — Suites numériques (Niveau : Intermédiaire)

On considère la suite ($u_n$) définie par : $u_0=4$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac{1}{3}\times u_n+2$.

1. Suite auxiliaire :
   On pose $v_n=u_n-l$, où $l$ est un réel à déterminer, de sorte que ($v_n$) soit géométrique.
   a) Déterminer la valeur de $l$ en résolvant l'équation $l=\frac{1}{3}\times l+2$.
   b) Montrer que la suite ($v_n$) est géométrique et préciser sa raison $q$ et son premier terme $v_0$.
2. Expression de $u_n$ :
   a) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   b) En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
3. Monotonie et limite :
   a) Montrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\ge 3$.
   b) Étudier la monotonie de la suite ($u_n$) en calculant $u_{n+1}-u_n$ et en utilisant le résultat précédent.
   c) En déduire que la suite ($u_n$) est convergente et calculer sa limite.