Suite récurrente, auxiliaire géométrique et limite — niveau intermédiaire

Exercice 4

On considère la suite $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $a_0=0$ et $a_{n+1}=\frac{2}{3}\times a_n+4$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. On pose $b_n=a_n-\ell$, où $\ell$ est le réel vérifiant $\ell =\frac{2}{3}\ell +4$. Déterminer $\ell$, puis montrer que $(b_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2. Exprimer $b_n$ puis $a_n$ en fonction de $n$.
3. Étudier la monotonie de $(a_n)$.
4. Déterminer la limite de $(a_n)$ quand $n\to +\infty$.
5. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $a_n\ge 11,9$.