Exercice 4 — Équation diophantienne et situation-problème (Niveau : Intermédiaire) Un organisateur d'événements à Casablanca achète deux types de billets pour un festival : des billets à 35 DH et des billets à 54 DH . Il dépense exactement 1 DH de moins que 1000 DH , soit 999 DH au total. Montrer que l'on cherche les solutions entières positives de l'équation (E) : 35 x + 54 y = 999 , où x est le nombre de billets à 35 DH et y le nombre de billets à 54 DH. Calculer pgcd ( 35 , 54 ) et vérifier que l'équation (E) admet des solutions dans Z . Trouver une solution particulière ( x 0 , y 0 ) ∈ Z 2 de (E), puis donner la solution générale dans Z . Déterminer toutes les solutions en entiers strictement positifs ( x > 0 et y > 0 ). Combien y a-t-il de façons d'acheter les billets ?

Équation diophantienne et problème de partage

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 4 — Équation diophantienne et situation-problème (Niveau : Intermédiaire)

Un organisateur d'événements à Casablanca achète deux types de billets pour un festival : des billets à 35 DH et des billets à 54 DH. Il dépense exactement 1 DH de moins que 1000 DH, soit 999 DH au total.

Montrer que l'on cherche les solutions entières positives de l'équation (E) : $35 x + 54 y = 999$ , où x est le nombre de billets à 35 DH et y le nombre de billets à 54 DH.
Calculer $pgcd (35, 54)$ et vérifier que l'équation (E) admet des solutions dans $Z$ .
Trouver une solution particulière $(x_{0}, y_{0}) \in Z^{2}$ de (E), puis donner la solution générale dans $Z$ .
Déterminer toutes les solutions en entiers strictement positifs ( $x > 0$ et $y > 0$ ). Combien y a-t-il de façons d'acheter les billets ?

Indices

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1 Indice 1

Pour trouver une solution particulière de $35x + 54y = 999$, essaie de tester des petites valeurs de $y$ (comme $y=1, 2, 3...$) et vérifie si $999 - 54y$ est divisible par $35$.

2 Indice 2

Une fois que tu as $(x_0, y_0)$ solution particulière, écris la solution générale sous la forme $x = x_0 + 54k$ et $y = y_0 - 35k$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Puis impose $x > 0$ ET $y > 0$ pour encadrer $k$.

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Pour trouver une solution particulière de $35 x + 54 y = 999$ , essaie de tester des petites valeurs de $y$ (comme $y = 1, 2, 3...$ ) et vérifie si $999 - 54 y$ est divisible par $35$ .

Une fois que tu as $(x_{0}, y_{0})$ solution particulière, écris la solution générale sous la forme $x = x_{0} + 54 k$ et $y = y_{0} - 35 k$ avec $k \in Z$ . Puis impose $x > 0$ ET $y > 0$ pour encadrer $k$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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