الحسابيات المتقدمة والمتبادلة أوليا

التمرين 6

يدرس هذا التمرين الخصائص الحسابية المتعلقة بالتوافقات والقابلية للقسمة.

1. الجزء A — التوافقات والقابلية للقسمة

   1. بين أنه لكل عدد صحيح n، لدينا: $n^5\equiv n(\mathrm{mod}5)$. (يمكن التمييز بين الحالات حسب باقي قسمة n على 5.)
   2. استنتج أن $5|(n^5-n)$ لكل n $\in$ $\mathbb{Z}$.
   3. بين كذلك أن $30|n^5-n$ لكل n $\in$ $\mathbb{Z}$. (يمكن اعتبار أن $2|n^2-n$ واستخدام النتائج السابقة ونتائج التمرين 1.)

2. الجزء B — المعادلة والأعداد الأولية

   1. حل في $\mathbb{Z}$ المعادلة (E) : $17x\equiv 5(\mathrm{mod}11)$.
   2. نبحث عن الأعداد الصحيحة n $\ge 2$ بحيث $\gcd (n,n+4)>1$. بين أن هذه الأعداد الصحيحة هي بالضبط مضاعفات 2 ومضاعفات 4 التي تقسم n + 4. ثم حدد جميع الأعداد n $\ge 2$ التي تحقق هذه الخاصية.