التمرين 6 — المتتالية التراجعية والحسابية (المستوى: صعب) نُعرف المتتالية ( a n ) بما يلي: a 0 = 2 ولكل n ∈ N ، a n + 1 = 3 a n + 4 . احسب a 1 , a 2 , a 3 . خَمِّن زوجية a n لكل n ∈ N . برهن بالترجع أن a n ≡ 2 ( mod 5 ) لكل n ∈ N . بين أن a n = 3 n × a 0 + 4 ( 3 n − 1 ) /2 ... بشكل أدق: بين أن a n = 3 n + 1 − 2 لكل n ∈ N . باستخدام الصيغة الصريحة، برهن أن 7∣ a n إذا وفقط إذا كان 6∣ ( n + 1 ) . إشارة: ادرس 3 n + 1 بترديد 7. حدد باقي قسمة a 2023 على 7.

الموافقات، الثابت وقابلية القسمة لمتتالية ترجعية

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 6 — المتتالية التراجعية والحسابية (المستوى: صعب)

نُعرف المتتالية ( $a_{n}$ ) بما يلي: $a_{0} = 2$ ولكل $n \in N$ ، $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4$ .

احسب $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ . خَمِّن زوجية $a_{n}$ لكل $n \in N$ .
برهن بالترجع أن $a_{n} \equiv 2 (mod 5)$ لكل $n \in N$ .
بين أن $a_{n} = 3^{n} \times a_{0} + 4 (3^{n} - 1) /2$ ... بشكل أدق: بين أن $a_{n} = 3^{n + 1} - 2$ لكل $n \in N$ .
باستخدام الصيغة الصريحة، برهن أن $7∣ a_{n}$ إذا وفقط إذا كان $6∣ (n + 1)$ .
إشارة: ادرس $3^{n + 1}$ بترديد 7.
حدد باقي قسمة $a_{2023}$ على 7.

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

احسب $a_1, a_2, a_3$ بتطبيق العلاقة $a_{n+1} = 3a_n + 4$ ببساطة، ثم لاحظ زوجيتها.

2 الإرشاد 2

من أجل البرهان بالترجع، إذا كان $a_n = 2k$ زوجيا، عبّر عن $a_{n+1} = 3(2k) + 4$ وحلل بإخراج العامل $2$.

3 الإرشاد 3

من أجل الصيغة الصريحة، ابحث عن النقطة الثابتة لـ $x = 3x + 4$ (هنا $x=-2$) وضع $b_n = a_n + 2$. من أجل السؤال 4، ادرس دورية قوى $3$ بترديد $7$ واستعمل $2023 \mod (\text{الدورة})$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

احسب $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ بتطبيق العلاقة $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4$ ببساطة، ثم لاحظ زوجيتها.

من أجل البرهان بالترجع، إذا كان $a_{n} = 2 k$ زوجيا، عبّر عن $a_{n + 1} = 3 (2 k) + 4$ وحلل بإخراج العامل $2$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

الحسابيات المتقدمة والمتبادلة أوليا كل تمارين الدرس قابلية القسمة والموافقات

الموافقات، الثابت وقابلية القسمة لمتتالية ترجعية

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

الموافقات، الثابت وقابلية القسمة لمتتالية ترجعية

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯