معادلة ديوفانتية ومسألة تقسيم

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal
Partager
Exercice inspiré d'un BAC Sénégal
Source-style : BAC Sénégal Série S 2023
Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 4 — معادلة ديوفانتية ووضعية-مسألة (المستوى: متوسط)

يشتري منظم أحداث في الدار البيضاء نوعين من التذاكر لمهرجان: تذاكر بسعر 35 درهمًا وتذاكر بسعر 54 درهمًا. ينفق بالضبط درهمًا واحدًا أقل من 1000 درهم، أي 999 درهمًا في المجموع.

  1. بين أننا نبحث عن الحلول الصحيحة الموجبة للمعادلة (E): ، حيث x هو عدد التذاكر بسعر 35 درهمًا و y هو عدد التذاكر بسعر 54 درهمًا.
  2. احسب وتحقق أن المعادلة (E) تقبل حلولاً في .
  3. أوجد حلاً خاصًا للمعادلة (E)، ثم أعطِ الحل العام في .
  4. حدد جميع الحلول الصحيحة القطعية الموجبة ( و ). كم عدد الطرق لشراء التذاكر؟

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour trouver une solution particulière de $35x + 54y = 999$, essaie de tester des petites valeurs de $y$ (comme $y=1, 2, 3...$) et vérifie si $999 - 54y$ est divisible par $35$.
2 الإرشاد 2
Une fois que tu as $(x_0, y_0)$ solution particulière, écris la solution générale sous la forme $x = x_0 + 54k$ et $y = y_0 - 35k$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Puis impose $x > 0$ ET $y > 0$ pour encadrer $k$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

Pour trouver une solution particulière de , essaie de tester des petites valeurs de (comme ) et vérifie si est divisible par .

Une fois que tu as solution particulière, écris la solution générale sous la forme et avec . Puis impose ET pour encadrer .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

الحسابيات المتطورة: متتالية، القاسم المشترك الأكبر والأعداد الأولية فيما بينها كل تمارين الدرس القاسم المشترك الأكبر بخوارزمية إقليدس ومتطابقة بيزو