الصناديق والمتتاليات - العد والحدود

لدينا صندوقان:

• الصندوق A يحتوي على 6 كرات مرقمة من 1 إلى 6.
• الصندوق B يحتوي على 8 كرات مرقمة من 1 إلى 8.

1. الجزء A — السحبات
   أ. نسحب في آن واحد 3 كرات من الصندوق A وكرتين من الصندوق B. كم عدد النتائج المختلفة الممكنة؟
   ب. من بين هذه النتائج، كم عدد النتائج التي تحتوي على كرة واحدة على الأقل تحمل رقماً زوجياً في مجموعة الكرات الثلاث المسحوبة من الصندوق A؟
2. الجزء B — المتتاليات التزايدية
   نسمي متتالية تزايدية قطعاً طولها $p$ مسحوبة من $\{1,2,\dots ,n\}$ كل متتالية $(a_1,a_2,\dots ,a_p)$ حيث $a_1<a_2<\dots <a_p$ و $a_i\in \{1,\dots ,n\}$.
   أ. برر أن عدد هذه المتتاليات هو $C_n^p$.
   ب. كم عدد المتتاليات التزايدية قطعاً التي طولها 3 والتي يمكن تكوينها من المجموعة $\{1,2,\dots ,8\}$؟
3. الجزء C — النشر الثنائي
   باستخدام صيغة ثنائي نيوتن، برهن أنه لكل عدد صحيح $n\ge 1$:
   $\sum _{k=1}^{n}k\times C_n^k=n\times 2^{n-1}$
   إشارة: اشتق المتطابقة $(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k\times x^k$ باعتبار المشتقة عند $x=1$، أو استدل بمتطابقة جبرية على المعاملات.