Binôme de Newton : développement et identités

Exercice 4 — Binôme de Newton et identités combinatoires

Partie A — Application directe

1. Développer $(x+2{)}^5$ à l'aide de la formule du binôme de Newton.
2. En déduire la valeur de $(1,02{)}^5$ arrondie à $10^{-4}$ près (on posera $x=1$ et on utilisera le développement obtenu).

Partie B — Identités

3. En appliquant la formule du binôme de Newton à $(1+1{)}^n$, démontrer que :
   $C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots +C_n^n=2^n$
4. En appliquant la formule du binôme de Newton à $(1-1{)}^n$ (avec $n\ge 1$), démontrer que la somme des coefficients binomiaux d'indices pairs est égale à la somme des coefficients binomiaux d'indices impairs, les deux valant $2^{n-1}$.