Urnes et suites — dénombrement combiné et binôme

On dispose de deux urnes :

• Urne A contient 6 boules numérotées de 1 à 6.
• Urne B contient 8 boules numérotées de 1 à 8.

1. Partie A — Tirages
   a. On tire simultanément 3 boules de l'urne A et 2 boules de l'urne B. Combien de résultats distincts sont possibles ?
   b. Parmi ces résultats, combien contiennent au moins une boule portant un numéro pair dans le lot de 3 boules tirées de l'urne A ?
2. Partie B — Suites croissantes
   On appelle suite strictement croissante de longueur $p$ tirée de $\{1,2,\dots ,n\}$ toute suite $(a_1,a_2,\dots ,a_p)$ avec $a_1<a_2<\dots <a_p$ et $a_i\in \{1,\dots ,n\}$.
   a. Justifier que le nombre de telles suites est $C_n^p$.
   b. Combien de suites strictement croissantes de longueur 3 peut-on former à partir de $\{1,2,\dots ,8\}$ ?
3. Partie C — Développement binomial
   En utilisant le binôme de Newton, démontrer que pour tout entier $n\ge 1$ :
   $\sum _{k=1}^{n}k\times C_n^k=n\times 2^{n-1}$
   Indication : dériver l'identité $(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k\times x^k$ en considérant la dérivée en $x=1$, ou raisonner par une identité algébrique sur les coefficients.