Formule de Moivre et linéarisation de cos³θ — Bac Sénégal 2023

Exercice 3 — Formule de Moivre et linéarisation

Partie 1 — Application de la formule de Moivre

1. En appliquant la formule de Moivre à $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3$, développer l'expression et identifier parties réelle et imaginaire pour établir :
   $\cos (3\theta )=4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$
   $\sin (3\theta )=3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$
2. En déduire la valeur exacte de $\cos (\pi /9)$ en résolvant l'équation $4x^3-3x=1/2$ sachant que $x=\cos (\pi /9)$ est solution. (On admet que cette équation a trois racines réelles distinctes, il suffira d'identifier la bonne.)

Partie 2 — Calcul d'une somme trigonométrique

3. En utilisant la formule de Moivre, montrer que pour tout entier $n\ge 1$ :
   $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n+(\cos \theta +i\sin \theta {)}^{-n}=2\cos (n\theta )$
4. En déduire que ${\cos }^2\theta =(1+\cos (2\theta ))÷2$. (Poser $n=1$ dans une identité convenable impliquant $(e^{i\theta }+e^{-i\theta }{)}^2$.)