Racines cubiques et transformations géométriques

Exercice 5 — Racines cubiques et géométrie dans $\mathbb{C}$

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O, $\vec{u}$, $\vec{v}$) d'unité 1 cm, on note $z_M$ l'affixe d'un point M.

Partie A — Racines de $z^3=-8i$

1. Écrire $-8i$ sous forme exponentielle.
2. Déterminer les trois racines cubiques de $-8i$. On les notera $z_0$, $z_1$, $z_2$ et on les exprimera sous forme exponentielle puis algébrique.
3. Placer les points A, B, C d'affixes $z_0$, $z_1$, $z_2$ dans le plan complexe. Quelle est la nature du triangle ABC ?

Partie B — Transformation du plan

On définit la transformation f du plan par : pour tout point M d'affixe z (z $\ne$ 0),
l'image M' = f(M) a pour affixe $z^{\prime }=\frac{z^2+2\bar{z}}{\bar{z}}$, où $\bar{z}$ désigne le conjugué de z.

4. Exprimer z' en fonction de z et $\bar{z}$. Montrer que si $z=r{e}^{i\theta }$, alors $z^{\prime }=r{e}^{2i\theta }+2e^{-i\theta }\times e^{2i\theta }$... (simplifier complètement z').
5. Déterminer l'ensemble des points M tels que M' = M (points fixes de f).
6. Déterminer l'ensemble des points M tels que $|z^{\prime }|=|z|$.