Formule de Moivre, linéarisation et racines cubiques

Exercice 4 — Formule de Moivre et racines cubiques de l'unité

Partie A — Formule de Moivre

1. En utilisant la formule de Moivre, développer (cos $\theta$ + i sin $\theta$${)}^3$ de deux façons différentes, puis en déduire les expressions de cos(3$\theta$) et sin(3$\theta$) en fonction de cos $\theta$ et sin $\theta$.
2. En déduire que cos(3$\theta$) = 4co$s^3$$\theta$ − 3cos$\theta$.

Partie B — Racines cubiques de l'unité

3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3$ = 1. On notera les trois racines $\omega$₀, $\omega$₁, $\omega$₂ sous forme exponentielle.
4. Écrire $\omega$₁ et $\omega$₂ sous forme algébrique. Vérifier que $\omega$₁ + $\omega$₂ = −1 et $\omega$₁ $\times$ $\omega$₂ = 1.
5. Montrer que 1 + $\omega$₁ + $\omega$₂ = 0. Interpréter géométriquement ce résultat.