Équation z² - (3+i)z + (2+3i) = 0 et repère orthonormal

Exercice 3 — Équation complexe et géométrie

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O, $\vec{u}$, $\vec{v}$), on associe à tout point M son affixe z.

Partie A — Résolution d'une équation

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2-(3+i)z+(2+3i)=0$.
   On recherchera les racines sous forme algébrique $z=a+bi$ avec $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$.

Partie B — Étude géométrique

On pose $z_1=2+i$, $z_2=1+2i$ et $z_3=1+i\sqrt{3}$.

2. Calculer $|z_1|$, $|z_2|$ et $|z_3|$. Que peut-on dire des points A, B, C d'affixes respectives $z_1$, $z_2$, $z_3$ par rapport à l'origine O ?
3. Calculer le nombre complexe $w=\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}$. En déduire la nature du triangle ABC.