Puissances complexes, suite géométrique et lieu géométrique

Exercice 6 — Suite, puissances et lieu géométrique. On pose $z_0=1+i$ et on définit la suite $(z_n)$ par $z_{n+1}=(1+i)z_n$ pour tout entier naturel $n$. 1. Montrer que $z_n=(1+i{)}^{n+1}$ pour tout entier naturel $n$. 2. Écrire $1+i$ sous forme exponentielle, puis en déduire une expression de $z_n$ sous forme exponentielle. 3. Calculer $|z_n|$ et $\arg (z_n)$, et montrer que $|z_n|=2^{(n+1)/2}$. 4. Déterminer l'ensemble des entiers $n\ge 1$ pour lesquels $z_n$ est un imaginaire pur, puis ceux pour lesquels $z_n$ est un réel. 5. On note $M_n$ le point d'affixe $z_n$. Calculer la distance $O{M}_n$.