Formule de Moivre — linéarisation et identités trigonométriques — Bac France 2024

Exercice 4 — Formule de Moivre et linéarisation

Partie A — Application de la formule de Moivre

1. En développant $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3$ par le binôme de Newton, puis en appliquant la formule de Moivre, établir les identités :
   $\cos (3\theta )=4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$
   $\sin (3\theta )=3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$
2. En déduire la valeur exacte de $\cos (\pi /9)$ sachant que $\cos (\pi /3)=1/2$. (On admettra que $x=\cos (\pi /9)$ est la racine réelle de $8x^3-6x-1=0$ qui convient.)

Partie B — Calcul de somme

3. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. En considérant la partie réelle de la somme $S=\sum _{k=0}^n{e}^{ik\theta }$ (pour $\theta \ne 2k\pi$), montrer que :
   $\sum _{k=0}^n\cos (k\theta )=\text{Re}(S)=\frac{\sin \left(\frac{(n+1)\theta }{2}\right)\times \cos \left(\frac{n\theta }{2}\right)}{\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}$