Transformation du plan complexe, racines et lieu géométrique

Exercice 3 — Transformations, racines et lieu géométrique

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O, $\vec{u}$, $\vec{v}$). À tout point M d'affixe $z\ne i$, on associe le point M' d'affixe $z^{\prime }$ définie par :

$z^{\prime }=\frac{z+1}{z-i}$

Partie 1 — Étude algébrique de la transformation

1. Montrer que si $z^{\prime }=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$), alors en posant $z=x+yi$ :

$a=\frac{x^2+y^2-y+x}{x^2+(y-1{)}^2}$    et    $b=\frac{x-y+1-x^2-y^2+y}{x^2+(y-1{)}^2}$

(On admettra ces expressions si le calcul algébrique est trop long, mais la méthode doit être indiquée.)

2. Déterminer l'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $z^{\prime }$ soit un réel pur ($\text{Im}(z^{\prime })=0$), c'est-à-dire $b=0$. Montrer que cet ensemble est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
3. Déterminer les points fixes de la transformation, c'est-à-dire les points M tels que $z^{\prime }=z$. On résoudra l'équation $z^2-z-1-i=0$ dans $\mathbb{C}$.

Partie 2 — Racines de $z^2-z-1-i=0$

On cherche les racines de $P(z)=z^2-z-1-i$ sous la forme $z=a+bi$ avec $a,b\in \mathbb{R}$.

1. En posant $\Delta =5+4i$ (discriminant), chercher les racines carrées de $\Delta$ sous la forme $u+vi$ ($u,v\in \mathbb{R}$). On résoudra le système obtenu en comparant parties réelle et imaginaire.
2. En déduire les deux racines $z_1$ et $z_2$ de $P(z)$. Vérifier que $z_1+z_2=1$ et $z_1\times z_2=-1-i$ (relations de Viète).
3. Placer les points fixes $M_1$ et $M_2$ dans le plan. Calculer $|M_1{M}_2|$ et l'argument de $z_2-z_1$.

Partie 3 — Image d'un cercle

On considère le cercle (C) d'équation $x^2+y^2=1$ (cercle unité). Soit M un point de (C) distinct de $i$ (d'affixe $i$).

1. Pour $M\in$ (C), montrer que $|z|=1$, c'est-à-dire $z\times \overline{z}=1$.
2. Montrer que, pour tout $M\in$ (C) avec $z\ne i$, on a $|z^{\prime }|=\frac{|z+1|}{|z-i|}$.
3. En utilisant $|z{|}^2=1$, calculer $|z+1{|}^2$ et $|z-i{|}^2$ en fonction des parties réelle et imaginaire de $z$, puis montrer que l'image de (C) par la transformation est contenue dans une droite que l'on déterminera.