Équation z² - 2z + 5 = 0 et relations de Viète

Exercice 3 — Équation complexe et géométrie

On considère l'équation (E) : $z^2-2z+5=0$.

1. Calculer le discriminant $\Delta$ de l'équation (E). Justifier que (E) n'a pas de solution réelle.
2. Résoudre (E) dans $\mathbb{C}$. On notera $z_1$ et $z_2$ les deux solutions, avec Im$(z_1)>0$.
3. Vérifier les relations de Viète : $z_1+z_2=2$ et $z_1\times z_2=5$.
4. Dans le plan complexe, on note A le point d'affixe $z_1$ et B le point d'affixe $z_2$.
   a. Calculer $|z_1|$ et arg$(z_1)$.
   b. Calculer la distance $AB=|z_1-z_2|$.
   c. Déterminer l'affixe du milieu M du segment [AB].