بطولة رياضية بمراكش: العد المتقدم

التمرين 5 — دوري رياضي بمراكش

يجمع دوري للتنس بمراكش n لاعبا (n $\ge$ 2). في دور المجموعات، يواجه كل لاعب مرة واحدة بالضبط كل اللاعبين الآخرين (دوري شامل).

الجزء A — عدد المباريات

1. عبر بدلالة n عن العدد الإجمالي للمباريات التي أجريت في دور المجموعات. سنرمز لهذا العدد بـ $M(n)$.
2. يعلن منظم أن 45 مباراة قد أجريت. حدد عدد اللاعبين المشاركين.

الجزء B — تكوين الفرق

نعتبر الآن مجموعة من 10 لاعبين (مرقمين من 1 إلى 10) نريد من بينهم تكوين فريقين من 5 لاعبين لمباراة زوجية.

3. بكم طريقة يمكن تكوين الفريق الأول المكون من 5 لاعبين؟ استنتج عدد الطرق لتكوين الفريقين في نفس الوقت (الفريق A ضد الفريق B يختلف عن الفريق B ضد الفريق A).
4. في الواقع، الترتيب الذي تتكون به الفرق غير ذي صلة (تكوين الفريق $\{1,2,3,4,5\}$ ضد $\{6,7,8,9,10\}$ هو نفس التقسيم مثل تكوين $\{6,7,8,9,10\}$ ضد $\{1,2,3,4,5\}$). احسب عدد التقسيمات إلى فريقين من 5 لاعبين.

الجزء C — المعامل الثنائي والمتطابقة

5. أثبت المتطابقة التالية لكل عدد صحيح $n\ge 1$ :
   $\sum _{k=0}^n{\left(C_n^k\right)}^2=C_{2n}^n$
   إشارة: اعتبر نشر $(1+x{)}^{2n}$ بطريقتين مختلفتين.