الترميز والمسارات والعد المنظم

التمرين 6 — رموز سرية ومسارات توافقية

الجزء A — رموز الولوج

ينشئ نظام معلوماتي رموزًا مكونة من 6 أحرف، كل حرف هو إما حرف كبير من الأبجدية الفرنسية (26 حرفًا) أو رقم (من 0 إلى 9)، أي ما مجموعه 36 حرفًا ممكنًا.

1. كم عدد الرموز المكونة من 6 أحرف التي يمكن تكوينها إذا سمح بالتكرار؟
2. كم عدد الرموز المكونة من 6 أحرف التي يمكن تكوينها إذا كانت جميع الأحرف مختلفة؟
3. من بين الرموز المكونة من 6 أحرف مختلفة، كم عدد الرموز التي تحتوي على رقمين بالضبط و 4 أحرف (كلها مختلفة)؟

الجزء B — مسارات في شبكة

نعتبر شبكة مستطيلة مكونة من $(n+1)$ عمودًا و $(p+1)$ صفًا (مع $n,p\ge 1$). يمتد مسار من الزاوية السفلية اليسرى O إلى الزاوية العلوية اليمنى A بالتحرك فقط إلى اليمين ($\to$) أو إلى الأعلى ($\uparrow$). يتضمن هذا المسار بالضبط $n$ خطوة إلى اليمين و $p$ خطوة إلى الأعلى.

4. اشرح لماذا عدد هذه المسارات يساوي $C_{n+p}^p$.
5. تطبيق: على شبكة 5 $\times$ 4 (أي $n=4$ خطوة إلى اليمين و $p=3$ خطوة إلى الأعلى)، كم عدد المسارات من O إلى A التي تمر عبر النقطة M الواقعة على بعد خطوتين إلى اليمين وخطوة واحدة إلى الأعلى من O؟
6. دائمًا بالنسبة لـ $n=4$ و $p=3$، كم عدد المسارات التي لا تمر بالنقطة M المعرفة في السؤال السابق؟