دورة، متطابقة باسكال والعد المتقدم

تم تنظيم دوري لكرة القدم بمراكش. يضم هذا الدوري n فريقًا (n $\ge$ 2)، وكل فريقين يتقابلان مرة واحدة بالضبط.

الجزء الأول – نمذجة والعد

1. عبر بدلالة n عن العدد الإجمالي للمباريات التي أجريت في هذا الدوري. نرمز لهذا العدد بـ M(n).
2. نلاحظ أن $M(n)=45$. حدد قيمة n.
3. بالنسبة لهذا الدوري (قيمة n التي تم إيجادها في السؤال 2)، نريد تشكيل لجنة تحكيم مكونة من 4 حكام يتم اختيارهم من بين 10 حكام متاحين، منهم 4 حكام ذوي خبرة و 6 حكام مبتدئين. كم عدد اللجان التي يمكن تشكيلها بحيث تحتوي على حكمين ذوي خبرة على الأقل؟

الجزء الثاني – متطابقة باسكال وتعميمها

4. اذكر وبرهن متطابقة باسكال: $C_{n+1}^p=C_n^{p-1}+C_n^p$, من أجل $1\le p\le n$.
5. باستخدام متطابقة باسكال، بين أنه لكل عدد صحيح $n\ge 1$:
   $\sum _{k=1}^{n}k\cdot C_n^k=n\cdot 2^{n-1}$.
   إشارة: يمكن استعمال المتطابقة $k\cdot C_n^k=n\cdot C_{n-1}^{k-1}$.
6. استنتج قيمة المجموع: $T=1\cdot C_{10}^1+2\cdot C_{10}^2+3\cdot C_{10}^3+\dots +10\cdot C_{10}^{10}$.