Tournoi sportif à Marrakech — dénombrement avancé

Difficile Inspiré BAC France
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Exercice inspiré d'un BAC France
Source-style : BAC France Spé Maths 2024
Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Un tournoi de basket-ball est organisé à Marrakech. 10 équipes participent, numérotées de 1 à 10. On dispose d'une table ronde de 10 places pour le dîner de gala.

  1. Partie A — Matchs du tournoi
    Chaque paire d'équipes se rencontre exactement une fois (tournoi en matchs aller uniquement).
    a. Combien de matchs sont joués au total ?
    b. L'organisateur décide de programmer exactement 3 matchs par journée. Combien de façons peut-il choisir les 3 matchs de la première journée parmi tous les matchs possibles ?
  2. Partie B — Placement à table
    Les 10 capitaines des équipes s'assoient à une table ronde (les places sont distinguées uniquement par leurs voisins, pas par un numéro).
    a. Rappeler et justifier la formule donnant le nombre de façons de placer n personnes autour d'une table ronde.
    b. Les capitaines des équipes 1 et 2 sont rivaux et refusent d'être voisins. Combien de placements sont alors possibles ?
    c. Parmi les placements sans contrainte, combien ont les capitaines 1, 2 et 3 tous les trois assis consécutivement (côte à côte, dans n'importe quel ordre entre eux) ?

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour compter les matchs, remarque que chaque match correspond a une paire d'equipes choisie parmi les 10 : utilise une combinaison $\\binom{10}{2}$.
2 Indice 2
Pour choisir les 3 matchs de la premiere journee, choisis 3 matchs parmi le total de matchs possibles calcule precedemment, sans tenir compte de l'ordre.
3 Indice 3
Pour le placement circulaire, fixe une personne pour eliminer les rotations equivalentes, puis compte les arrangements des personnes restantes ; pour les contraintes (voisins interdits ou groupes soudes), utilise le complementaire ou la technique du bloc.

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La méthode — par où commencer

Pour compter les matchs, remarque que chaque match correspond a une paire d'equipes choisie parmi les 10 : utilise une combinaison .

Pour choisir les 3 matchs de la premiere journee, choisis 3 matchs parmi le total de matchs possibles calcule precedemment, sans tenir compte de l'ordre.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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