Tournoi, identité de Pascal et dénombrement avancé

Un tournoi de football est organisé à Marrakech. Il réunit n équipes (n $\ge$ 2), et chaque paire d'équipes se rencontre exactement une fois.

Partie I – Modélisation et dénombrement

1. Exprimer en fonction de n le nombre total de matchs joués dans ce tournoi. On notera ce nombre M(n).
2. On observe que $M(n)=45$. Déterminer la valeur de n.
3. Pour ce tournoi (valeur de n trouvée en question 2), on souhaite constituer une commission d'arbitrage de 4 arbitres choisis parmi 10 arbitres disponibles, dont 4 arbitres expérimentés et 6 arbitres juniors. Combien de commissions peut-on former contenant au moins 2 arbitres expérimentés ?

Partie II – Identité de Pascal et généralisation

4. Rappeler et démontrer l'identité de Pascal : $C_{n+1}^p=C_n^{p-1}+C_n^p$, pour $1\le p\le n$.
5. En utilisant l'identité de Pascal, montrer que pour tout entier $n\ge 1$ :
   $\sum _{k=1}^{n}k\cdot C_n^k=n\cdot 2^{n-1}$.
   Indication : on pourra utiliser l'identité $k\cdot C_n^k=n\cdot C_{n-1}^{k-1}$.
6. En déduire la valeur de la somme : $T=1\cdot C_{10}^1+2\cdot C_{10}^2+3\cdot C_{10}^3+\dots +10\cdot C_{10}^{10}$.