Dans cet exercice, n désigne un entier naturel avec n ≥ 2 . Démontrer l'identité suivante, en utilisant les définitions : C n p = C n n − p pour tout entier p avec 0 ≤ p ≤ n . Démontrer la relation de Pascal : C n + 1 p = C n p − 1 + C n p pour tout entier p avec 1 ≤ p ≤ n , en utilisant uniquement les définitions (sans argument combinatoire). En déduire la valeur de la somme : S = C n 0 + C n 1 + C n 2 + … + C n n , en appliquant le binôme de Newton avec a = 1 et b = 1. Calculer la somme alternée : T = C n 0 − C n 1 + C n 2 − … + ( − 1 ) n × C n n .

Identités combinatoires et triangle de Pascal — Bac France 2024

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Dans cet exercice, n désigne un entier naturel avec $n \geq 2$ .

Démontrer l'identité suivante, en utilisant les définitions :
$C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}$ pour tout entier p avec $0 \leq p \leq n$ .
Démontrer la relation de Pascal : $C_{n + 1}^{p} = C_{n}^{p - 1} + C_{n}^{p}$ pour tout entier p avec $1 \leq p \leq n$ , en utilisant uniquement les définitions (sans argument combinatoire).
En déduire la valeur de la somme : $S = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n}$ , en appliquant le binôme de Newton avec a = 1 et b = 1.
Calculer la somme alternée : $T = C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - \dots + (- 1)^{n} \times C_{n}^{n}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la première question, écris la définition complète de $C_n^{n-p}$ avec les factorielles : remplace $(n-p)$ par sa valeur dans la formule $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ et observe la symétrie.

2 Indice 2

Pour la relation de Pascal, pars des définitions avec factorielles des deux termes $C_n^{p-1}$ et $C_n^p$, puis mets-les au même dénominateur en multipliant par $p$ le premier et par $(n-p+1)$ le second.

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Pour la première question, écris la définition complète de $C_{n}^{n - p}$ avec les factorielles : remplace $(n - p)$ par sa valeur dans la formule $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ et observe la symétrie.

Pour la relation de Pascal, pars des définitions avec factorielles des deux termes $C_{n}^{p - 1}$ et $C_{n}^{p}$ , puis mets-les au même dénominateur en multipliant par $p$ le premier et par $(n - p + 1)$ le second.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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