Mots de code et binôme de Newton – Dénombrement

On considère l'alphabet A = {a, b, c, d, e, f, g} contenant 7 lettres distinctes.

Partie I – Formation de mots

1. Combien de mots de 4 lettres distinctes peut-on former avec les lettres de A ?
2. Parmi ces mots, combien contiennent la lettre 'a' ?
3. Combien de mots de 4 lettres distinctes peut-on former avec les lettres de A en imposant que le mot commence par une voyelle (les voyelles de A sont : a, e) ?

Partie II – Binôme de Newton

4. Développer $(1+x{)}^7$ à l'aide de la formule du binôme de Newton. On exprimera chaque coefficient binomial sous forme numérique.
5. En déduire la valeur de la somme : S = $C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3+C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7$.
6. En substituant une valeur judicieuse de x dans le développement de $(1+x{)}^7$, montrer que : $C_7^0-C_7^1+C_7^2-C_7^3+C_7^4-C_7^5+C_7^6-C_7^7=0$.