العد المتقدم: السحب والتأليف والمتطابقات

تنظم جمعية طلابية بالرباط انتخاباتها. تضم الجمعية n منخرطًا، منهم 5 أعضاء مؤسسين و (n − 5) أعضاء جدد، حيث $n\ge 7$.

الجزء A — اللجان

1. نكون لجنة من 4 أعضاء يتم اختيارهم من بين n منخرطًا.
   1. عبر بدلالة n عن العدد الكلي للجان الممكنة.
   2. عبر بدلالة n عن عدد اللجان التي تضم عضوين مؤسسين بالضبط.
   3. عبر بدلالة n عن عدد اللجان التي تضم مؤسسًا واحدًا على الأقل.
2. من أجل n = 12، احسب القيم العددية المحصل عليها في 1a و 1b و 1c.

الجزء B — متطابقة توافقية

3. برهن أنه لكل عدد صحيح p يحقق $1\le p\le n$ :
   $p\times C_n^p=n\times C_{n-1}^{p-1}$
   باستخدام تعريفات العاملي.
4. استنتج قيمة المجموع: $S=\sum _{k=1}^{n}k\times C_n^k$.

الجزء C — صندوق وسحب شرطي

يحتوي صندوق على 5 كرات حمراء مرقمة من 1 إلى 5 و 4 كرات زرقاء مرقمة من 1 إلى 4. نسحب في آن واحد 3 كرات.

5. ما هو العدد الكلي للسحبات الممكنة؟
6. كم عدد السحبات التي تحتوي على كرتين حمراوين على الأقل؟
7. كم عدد السحبات التي تحتوي على كرات مجموع أرقامها يساوي 6؟ (حدد الحالات حسب لون الكرات المسحوبة.)