نعتبر المعاملات الثنائية C n p المعرفة من أجل 0 ≤ p ≤ n . بين أنه لكل عدد صحيح طبيعي n ≥ 1 ولكل عدد صحيح طبيعي p بحيث 1 ≤ p ≤ n − 1 ، لدينا: C n p = C n − 1 p − 1 + C n − 1 p (علاقة باسكال). استنتج قيمة C 7 3 باستخدام علاقة باسكال فقط انطلاقا من القيم C n 0 = 1 و C n 1 = n . بين أنه لكل عدد صحيح طبيعي n ≥ 0 : C n 0 + C n 1 + C n 2 + … + C n n = 2 n .

المتطابقات التوافقية ومثلث باسكال

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

نعتبر المعاملات الثنائية $C_{n}^{p}$ المعرفة من أجل $0 \leq p \leq n$ .

بين أنه لكل عدد صحيح طبيعي $n \geq 1$ ولكل عدد صحيح طبيعي $p$ بحيث $1 \leq p \leq n - 1$ ، لدينا:
$C_{n}^{p} = C_{n - 1}^{p - 1} + C_{n - 1}^{p}$
(علاقة باسكال).
استنتج قيمة $C_{7}^{3}$ باستخدام علاقة باسكال فقط انطلاقا من القيم $C_{n}^{0} = 1$ و $C_{n}^{1} = n$ .
بين أنه لكل عدد صحيح طبيعي $n \geq 0$ : $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour démontrer la relation de Pascal, pars de la définition factorielle : écris $C_{n-1}^{p-1}$ et $C_{n-1}^{p}$ avec les factorielles, puis additionne-les en mettant au même dénominateur $p!(n-p)!$.

2 الإرشاد 2

Pour calculer $C_7^3$, construis le triangle de Pascal ligne par ligne : commence par $C_2^1=2$, calcule $C_3^2$ avec la relation, puis $C_4^2$, jusqu'à avoir $C_6^2$ et $C_6^3$ dont tu auras besoin pour la dernière étape.

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Pour démontrer la relation de Pascal, pars de la définition factorielle : écris $C_{n - 1}^{p - 1}$ et $C_{n - 1}^{p}$ avec les factorielles, puis additionne-les en mettant au même dénominateur $p! (n - p)!$ .

Pour calculer $C_{7}^{3}$ , construis le triangle de Pascal ligne par ligne : commence par $C_{2}^{1} = 2$ , calcule $C_{3}^{2}$ avec la relation, puis $C_{4}^{2}$ , jusqu'à avoir $C_{6}^{2}$ et $C_{6}^{3}$ dont tu auras besoin pour la dernière étape.

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