Démonstration combinatoire et identité de Vandermonde

Soient n et p deux entiers naturels avec $p\le n$.

1. Démontrer par un argument combinatoire (dénombrement de deux façons) l'identité suivante :
   $\sum _{k=0}^p{C}_n^k\times C_m^{p-k}=C_{n+m}^p$
   où m est un entier naturel avec $p\le m$. (Identité de Vandermonde)
2. En prenant m = n et p = n dans l'identité de Vandermonde, montrer que :
   $\sum _{k=0}^n{\left(C_n^k\right)}^2=C_{2n}^n$
3. Calculer la valeur de $\sum _{k=0}^4{\left(C_4^k\right)}^2$ puis vérifier le résultat avec la formule établie.
4. À l'aide du binôme de Newton appliqué à $(1+x{)}^n$, retrouver l'identité de la question 2 par une méthode analytique.