On considère les coefficients binomiaux C n p définis pour 0 ≤ p ≤ n . Démontrer que pour tout entier n ≥ 1 et tout entier p tel que 1 ≤ p ≤ n − 1 , on a : C n p = C n − 1 p − 1 + C n − 1 p (relation de Pascal). En déduire la valeur de C 7 3 en utilisant uniquement la relation de Pascal à partir des valeurs C n 0 = 1 et C n 1 = n . Montrer que pour tout entier n ≥ 0 : C n 0 + C n 1 + C n 2 + … + C n n = 2 n .

Identités combinatoires et triangle de Pascal — Bac Sénégal 2023

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

On considère les coefficients binomiaux $C_{n}^{p}$ définis pour $0 \leq p \leq n$ .

Démontrer que pour tout entier $n \geq 1$ et tout entier $p$ tel que $1 \leq p \leq n - 1$ , on a :
$C_{n}^{p} = C_{n - 1}^{p - 1} + C_{n - 1}^{p}$
(relation de Pascal).
En déduire la valeur de $C_{7}^{3}$ en utilisant uniquement la relation de Pascal à partir des valeurs $C_{n}^{0} = 1$ et $C_{n}^{1} = n$ .
Montrer que pour tout entier $n \geq 0$ : $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour démontrer la relation de Pascal, pars de la définition factorielle : écris $C_{n-1}^{p-1}$ et $C_{n-1}^{p}$ avec les factorielles, puis additionne-les en mettant au même dénominateur $p!(n-p)!$.

2 Indice 2

Pour calculer $C_7^3$, construis le triangle de Pascal ligne par ligne : commence par $C_2^1=2$, calcule $C_3^2$ avec la relation, puis $C_4^2$, jusqu'à avoir $C_6^2$ et $C_6^3$ dont tu auras besoin pour la dernière étape.

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Pour démontrer la relation de Pascal, pars de la définition factorielle : écris $C_{n - 1}^{p - 1}$ et $C_{n - 1}^{p}$ avec les factorielles, puis additionne-les en mettant au même dénominateur $p! (n - p)!$ .

Pour calculer $C_{7}^{3}$ , construis le triangle de Pascal ligne par ligne : commence par $C_{2}^{1} = 2$ , calcule $C_{3}^{2}$ avec la relation, puis $C_{4}^{2}$ , jusqu'à avoir $C_{6}^{2}$ et $C_{6}^{3}$ dont tu auras besoin pour la dernière étape.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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