لتكن f معرفة على I = [ 1 ; + ∞ [ بـ f ( x ) = 1 + x 1 ، و ( U n ) المتتالية المعرفة بـ U 0 = 2 و U n + 1 = f ( U n ) . بين أن المعادلة f ( x ) = x تقبل حلا وحيدا α ∈ ] 1 ; 2 [ . بين أنه من أجل كل x ∈ I ، ∣ f ′ ( x ) ∣ ≤ 2 1 ، ثم أن ∣ U n + 1 − α ∣ ≤ 2 1 ∣ U n − α ∣ . استنتج أن ( U n ) تتقارب نحو α .

Suite récurrente et théorème du point fixe

Difficile

لتكن $f$ معرفة على $I = [1; + \infty [$ بـ $f (x) = 1 + \frac{1}{x}$ ، و $(U_{n})$ المتتالية المعرفة بـ $U_{0} = 2$ و $U_{n + 1} = f (U_{n})$ .

بين أن المعادلة $f (x) = x$ تقبل حلا وحيدا $α \in] 1; 2 [$ .
بين أنه من أجل كل $x \in I$ ، $∣ f^{'} (x) ∣ \leq \frac{1}{2}$ ، ثم أن $∣ U_{n + 1} - α ∣ \leq \frac{1}{2} ∣ U_{n} - α ∣$ .
استنتج أن $(U_{n})$ تتقارب نحو $α$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

ادرس الدالة $g(x)=f(x)-x$: بيّن أنها رتيبة قطعا على $I$، ثم استعمل مبرهنة القيم الوسيطية بين قيمتين مختارتين بعناية.

2 الإرشاد 2

احسب $f'(x)$ وأوجد حدا أعلى لقيمتها المطلقة من أجل $x\\ge 1$؛ ثم طبق متراجحة التزايدات المنتهية بين $U_n$ و $\\alpha$ (النقطة الصامدة).

3 الإرشاد 3

بالتراجع، أوجد حدا أعلى لـ $|U_n-\\alpha|$ على شكل قوة لـ $\\dfrac{1}{2}$ واستعمل مبرهنة التقارب المحصور.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

ادرس الدالة $g (x) = f (x) - x$ : بيّن أنها رتيبة قطعا على $I$ ، ثم استعمل مبرهنة القيم الوسيطية بين قيمتين مختارتين بعناية.

احسب $f^{'} (x)$ وأوجد حدا أعلى لقيمتها المطلقة من أجل $x g e 1$ ؛ ثم طبق متراجحة التزايدات المنتهية بين $U_{n}$ و $a l p ha$ (النقطة الصامدة).

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points