Variations et équation à point fixe

Difficile
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Soit définie sur par .

  1. Calculer et étudier le sens de variation de .
  2. Montrer que l'équation admet une unique solution , et que .

Indices

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1 Indice 1
Pour la limite, factorise par $x$ : écris $f(x) = x\left(\dfrac{3(x+1)^{1/3}}{x} - 1\right)$ et regarde ce qui se passe quand $x \to +\infty$.
2 Indice 2
Pour la dérivée, utilise $\left(\sqrt[3]{x+1}\right)' = \dfrac{1}{3}(x+1)^{-2/3}$, puis compare $\sqrt[3]{(x+1)^2}$ à $1$ pour $x>0$.
3 Indice 3
Étudie $h(x) = f(x) - x$ : montre que $h$ est strictement décroissante, calcule $h(0)$ et la limite de $h$ en $+\infty$ pour appliquer le corollaire du TVI, puis évalue $h(2)$ et $h(3)$.

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La méthode — par où commencer

Pour la limite, factorise par : écris et regarde ce qui se passe quand .

Pour la dérivée, utilise , puis compare à pour .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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