Soit f définie sur I = [ 1 ; + ∞ [ par f ( x ) = 1 + x 1 , et ( U n ) la suite définie par U 0 = 2 et U n + 1 = f ( U n ) . Montrer que l'équation f ( x ) = x admet une unique solution α ∈ ] 1 ; 2 [ . Montrer que pour tout x ∈ I , ∣ f ′ ( x ) ∣ ≤ 2 1 , puis que ∣ U n + 1 − α ∣ ≤ 2 1 ∣ U n − α ∣ . En déduire que ( U n ) converge vers α .

Suite récurrente et théorème du point fixe

Difficile

Énoncé

Soit $f$ définie sur $I = [1; + \infty [$ par $f (x) = 1 + \frac{1}{x}$ , et $(U_{n})$ la suite définie par $U_{0} = 2$ et $U_{n + 1} = f (U_{n})$ .

Montrer que l'équation $f (x) = x$ admet une unique solution $α \in] 1; 2 [$ .
Montrer que pour tout $x \in I$ , $∣ f^{'} (x) ∣ \leq \frac{1}{2}$ , puis que $∣ U_{n + 1} - α ∣ \leq \frac{1}{2} ∣ U_{n} - α ∣$ .
En déduire que $(U_{n})$ converge vers $α$ .

Indices

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1 Indice 1

Étudie la fonction $g(x)=f(x)-x$ : montre qu'elle est strictement monotone sur $I$, puis utilise le théorème des valeurs intermédiaires entre deux valeurs bien choisies.

2 Indice 2

Calcule $f'(x)$ et majore sa valeur absolue pour $x\\ge 1$ ; applique ensuite l'inégalité des accroissements finis entre $U_n$ et $\\alpha$ (point fixe).

3 Indice 3

Par récurrence, majore $|U_n-\\alpha|$ par une puissance de $\\dfrac{1}{2}$ et utilise le théorème des gendarmes.

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Étudie la fonction $g (x) = f (x) - x$ : montre qu'elle est strictement monotone sur $I$ , puis utilise le théorème des valeurs intermédiaires entre deux valeurs bien choisies.

Calcule $f^{'} (x)$ et majore sa valeur absolue pour $x g e 1$ ; applique ensuite l'inégalité des accroissements finis entre $U_{n}$ et $a l p ha$ (point fixe).

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