Théorème des accroissements finis généralisé

Difficile
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Énoncé

Soient et deux fonctions dérivables sur telles que . On fixe et on suppose et ne s'annule pas sur .

Montrer qu'il existe tel que :

Indices

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1 Indice 1
Cherche à construire une fonction auxiliaire $\varphi$ combinant $f$ et $g$ de façon à pouvoir appliquer le théorème de Rolle sur $[0;x]$.
2 Indice 2
Essaie $\varphi(t) = f(t)g(x) - g(t)f(x)$ et vérifie que $\varphi(0)=\varphi(x)=0$ grâce aux hypothèses $f(0)=g(0)=0$.
3 Indice 3
Applique le théorème de Rolle à $\varphi$ pour obtenir un $c$ tel que $\varphi'(c)=0$, puis exprime $\varphi'(t)$ et réarrange pour isoler le rapport $f'(c)/g'(c)$.

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La méthode — par où commencer

Cherche à construire une fonction auxiliaire combinant et de façon à pouvoir appliquer le théorème de Rolle sur .

Essaie et vérifie que grâce aux hypothèses .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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