Soient a et b tels que 0 ≤ a ≤ b . Montrer que : 1 + b 2 b − a ≤ arctan b − arctan a ≤ 1 + a 2 b − a . En déduire que pour tout x ≥ 0 : 1 + x 2 x ≤ arctan x ≤ x .

Encadrement de arctan par le TAF

Difficile

Énoncé

Soient $a$ et $b$ tels que $0 \leq a \leq b$ . Montrer que :
$\frac{b - a}{1 + b ^{2}} \leq arctan b - arctan a \leq \frac{b - a}{1 + a ^{2}} .$
En déduire que pour tout $x \geq 0$ : $\frac{x}{1 + x ^{2}} \leq arctan x \leq x .$

Indices

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1 Indice 1

Applique le theoreme des accroissements finis a la fonction arctan sur $[a,b]$ : il existe $c\in]a,b[$ tel que $\arctan b-\arctan a=(b-a)\cdot(\arctan)'(c)$.

2 Indice 2

Encadre $c$ entre $a$ et $b$ pour en deduire un encadrement de $\dfrac{1}{1+c^2}$, puis multiplie par $b-a$.

3 Indice 3

Pour la deuxieme question, applique simplement le resultat precedent avec $a=0$ et $b=x$, en te rappelant que $\arctan 0=0$.

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Applique le theoreme des accroissements finis a la fonction arctan sur $[a, b]$ : il existe $c \in] a, b [$ tel que $arctan b - arctan a = (b - a) \cdot (arctan)^{'} (c)$ .

Encadre $c$ entre $a$ et $b$ pour en deduire un encadrement de $\frac{1}{1 + c ^{2}}$ , puis multiplie par $b - a$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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